Hegedű-tanulmányait hatévesen, Baranyai Valériánál kezdte. Tizenegy évesen felvételt nyert a Liszt Ferenc Zeneművészeti Főiskola előkészítő tagozatára Perényi Eszter osztályába, ahol 2001-ben diplomázott. Rendszeres hallgatója volt Rados Ferenc, Isaac Stern, Kurtág György, Igor Ozim, Fenyves Lóránd, Zsigmondy Dénes, Pauk György, Sergiu Luca és Thomas Zehetmair magánóráinak és mesterkurzusainak.

Számos sikeres nemzetközi versenyszereplés után elnyerte az 1997-es Nemzetközi Szigeti József Hegedűverseny második díját, az 1999-es Salzburgi Mozart-verseny első díját, a Kuhmoi Trióverseny első díját (Bogányi Gergellyel és Bogányi Tiborral), a 2001-es Brüsszeli Erzsébet Királyné Hegedűverseny harmadik díját, majd 2002-ben a világ egyik legrangosabb hegedűversenyét, a Nemzetközi Indianapolis Hegedűverseny első díját és a nyolcból hat különdíjat, valamint az 1683-ban készült Ex-Gingold Stradivari hegedű és Tourte vonó négyéves használati jogát. 2007-ben elnyerte a Zsolnai Középeurópai Komolyzenei Fesztivál nagydíját.

Olyan művészekkel dolgozott együtt, mint Lorin Maazel, Sir Neville Marriner, Denis Russel-Davies, Eiji Oue, Robert Spano, Michael Stern, Rumon Gamba, Kocsis Zoltán, Vásáry Tamás, Perényi Miklós, Steven Isserlis, Ránki Dezső, Eötvös Péter.

Máig tizenegy szólólemeze készült, melyek közül az első dupla-lemez (Liszt összes hegedű-zongora műve Bogányi Gergellyel) elnyerte a Nemzetközi Liszt Társaság Nagylemez-díját. 2003 októberében a három Brahms-szonáta felvétele (Vásáry Tamással) elnyerte a Diapason D'or díjat. Első élő dupla DVD felvételén Mozart összes hegedűre és zenekarra írott művét játssza. Felkérést kapott az Új Bartók Sorozat keretében megjelenő összes szóló - és kamarazenei hegedűre írott mű felvételének elkészítésére.

2009-ben kamarazenélési vágyának beteljesedésére megalapította a Kelemen Quartettet. Az első év műhelymunkája után egyre rangosabb koncerttermek, fesztiválok vendégei világszerte. A 2011-es Melbourne-i Nemzetközi Kamarazenei versenyen megnyerték a Második és a Közönségdíjat és az egyik fődíjat. /www.kelemenquartet.com/

Kelemen Barnabás a világ számos rangos fesztiválján és koncerttermében játszik híres zenekarokkal. Fellépett többek között az amszterdami Concertgebouw, a londoni Wigmore Hall és a New York-i Carnegie Hall nagytermében, játszott a Budapesti Tavaszi Fesztiválon, valamint a Jeruzsálem, Lockenhaus, Ittingen, Kuhmo, Paganiniana (Genova), Moritzburg (Németország), Menton (Franciaország), Al Bustan (Libanon) fesztiválokon, és olyan városok zenekarai hívták meg, mint München, Berlin, Brüsszel, Genf, Rio De Janeiro, Lahti, Rotterdam, Liverpool és Prága. Repertoárja átfogó képet ad mind a szóló, mind a kamarairodalomról, valamint átível a kora barokktól napjaink zenéjéig. Nevéhez fűződik többek között Ligeti, Schnittke, Kurtág és Gubajdulina műveinek magyarországi ill. ősbemutatója is.

2005-től a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem tanára, s rendszeresen tart mesterkurzusokat az egyesült államokbeli Bloomingtoni Egyetemen.

Kelemen Barnabás a Magyar Államtól kapott, 1742-ben készült Ex-Kovács Dénes Guarneri del Gesu hegedűn játszik.

Díjak, kitüntetések:

2001 Liszt-emlékplakett
2001 Végh Sándor-díj
2003 Liszt-díj
2003 Rózsavölgyi Aranyérem
2003 Diapason D’or
2003 Az Év Klasszikus Zenésze - Gramofon
2001 Jelenlét művészeti díj
2005 Jelenlét művészeti díj
2006 A Magyar Köztársasági Érdemrend lovagkeresztje
2007 Prima-díj
2012 Kossuth-díj

2001-ben kezdődött szakmai kapcsolata Dragony Tímeával, a szerző akkor még készülő versenyművének és néhány ötletének technikai megvalósításával. 2002-ben a szerző zeneszerzés diplomahangversenyén a Hegedűverseny ősbemutatója is nevéhez fűződik. A művet a szerző neki ajánlotta.